Question

14．如图1，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE，设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；
（2）如图2，当P不与O重合时，将△BCE绕点B顺时针旋转，当BC与BA重合时，记E的对应点为F，求证：EP=CE+AP．
（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）证明△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标；
（2）延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．

解答 解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t，
∴AO=PQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC=4，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°，
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠PQD}\\{∠BPA=∠PDQ}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t，
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：45°，（t，t）；
（2）延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BCE=∠BAF}\\{CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP与△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=EB}\\{∠FBP=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP；
（3）①若PB=PE，
由△PAB≌△DQP得PB=PD，
显然PB≠PE，
∴这种情况应舍去．
②若EB=EP，
则∠PBE=∠BPE=45°．
∴∠BEP=90°．
∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．
在△POE和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEO=∠EBC}\\{∠POE=∠ECB}\\{EP=BE}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE=CB=OC．
∴点E与点C重合．
∴点P与点O重合．
∵点B（-4，4），
∴AO=CO=4．
此时t=AP=AO=4．
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t
∴CE=t．
∴PO=EO=4-t．
∵∠POE=90°，
∴PE=$\sqrt{P{O}^{2}+E{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-t）．
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAF=∠BCE=90°}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{∠FBP=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴$\sqrt{2}$（4-t）=2t．
解得：t=4$\sqrt{2}$-4
∴当t为4秒或（4$\sqrt{2}$-4）秒时，△PBE为等腰三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．