【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线分别交轴,轴于,两点.点的坐标为,抛物线经过,两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,是线段上一点,连接,若的值最小,求点坐标;
(3)如图2,在(2)的前提下,直线与直线的交点为,过点作轴的平行线交抛物线于点,若是抛物线上一点,是轴上一点,是否存在以,,,为顶点且为边的平行四边形,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)D点坐标为(0,);(3)存在,点M的坐标为(,)或(,)或(,)
【解析】
(1)先求得点A的坐标,再将A、C的坐标代入抛物线的表达式即可求解;
(2)过点D作DG⊥AB于G,利用∠OBA的正弦值求得DG=BD,则C、D、G三点共线时,CD+BD的值最小,即可求得D点坐标;
(3)先求得Q点坐标,分CQ为对角线、CM为对角线、CN为对角线三种情况讨论即可求解.
(1)令,则,
解得:,
∴点A的坐标为(4,0),
∵抛物线经过,两点,
∴将A(4,0)、C(-1,0)的坐标代入得:
,
解得:,
∴抛物线的表达式为:;
(2)令,则,
∴点B的坐标为(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴,
过点D作DG⊥AB于G,如图:
∵,
∴DG=BD,
当C、D、G三点共线时,CD+BD的值最小,
∵点C的坐标为(-1,0),
∴OC=1,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
∴,
∴D点坐标为(0,);
(3)设直线CD的解析式为:,
将点C(-1,0)的坐标代入得:,
解得:,
∴直线CD的解析式为:,
解方程组得:,
∴P点坐标为(,);
∵PQ∥y轴,
当时,,
∴Q点坐标为(,);
当CQ为对角线时,C、Q中点与M、N中点相同,
设M点的横坐标为,
则,
解得:,
当时,,
∴M点坐标为(,);
当CM为对角线时,C、M中点与Q、N中点相同,
设M点的横坐标为,
则,
解得:,
当时,,
∴M点坐标为(,);
当CN为对角线时,C、N中点与M、Q中点相同,
设M点的横坐标为,
则,
解得:,
当时,,
∴M点坐标为(,);
综上可知,点M的坐标为(,)或(,)或(,)
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【题目】欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法:甲:如图1,裁一张边长为1的正方形的纸片,先折出的中点,再折出线段,然后通过折叠使落在线段上,折出点的新位置,因而,类似地,在上折出点使。此时,的长度可以用来表示方程的一个正根;乙:如图2,裁一张边长为1的正方形的纸片,先折出的中点,再折出线段N,然后通过沿线段折叠使落在线段上,折出点的新位置,因而。此时,的长度可以用来表示方程的一个正根;甲、乙两人的做法和结果( )。
A.甲对,乙错B.乙对,甲错C.甲乙都对D.甲乙都错
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=6,AB=8,求菱形ADCF的面积.
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【题目】如图,中,,点从点出发,以的速度沿向点运动,同时点从点出发,以的速度沿向点运动,知道它们都到达点为止.若的面积为,点的运动时间为,则与的函数图象是( )
A.B.C.D.
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【题目】将大小相同的正三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有6个小三角形和1个正六边形;第②个图案中有10个小三角形和2个正六边形;第③个图案中有14个小三角形和3个正六边形;…;按此规律排列下去,已知一个正六边形的面积为,一个小三角形的面积为,则第③个图案中所有的小三角形和正六边形的面积之和为______.(结果用含、的代数式表示)
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【题目】(感知)如图①,点C是AB中点,CD⊥AB,P是CD上任意一点,由三角形全等的判定方法“SAS”易证△PAC≌△PBC,得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”
(探究)如图②,在平面直角坐标系中,直线y=-x+1分别交x轴、y轴于点A和点B,点C是AB中点,CD⊥AB交OA于点D,连结BD,求BD的长
(应用)如图③
(1)将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′,请在图③网格中画出线段AB;
(2)若存在一点P,使得PA=PB′,且∠APB′≠90°,当点P的横、纵坐标均为整数时,则AP长度的最小值为______.
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【题目】小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
(一)猜测探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AN,连接NB.
(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______,NB与MC的数量关系是_______;
(2)如图2,点E是AB延长线上点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由。
(二)拓展应用
如图3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意点,连接A1P,将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60°,得到线段A1Q,连接B1Q.求线段B1Q长度的最小值.
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