Question

20．如图，E，F分别是边长为a的正方形ABCD的边AB，AD上的点，∠ECF=45°．
（1）求证：CF平分∠DFE；
（2）若$\frac{AE}{AB}$=k．用含有k的代数式表示$\frac{CE}{CF}$的值；
（3）若a=2，AE=x，AF=y．
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②确定当$\frac{5\sqrt{2}}{8}$≤$\frac{CE}{CF}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AD到G，使DG=BE．只要证明△ECF≌△GCF即可解决问题．
（2）如图2中，过E作EP⊥AC，垂足为P．由△ECP≌△FCD，可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$，设CD=BC=AB=a，AC=$\sqrt{2}$a，∠EAP=45°，推出AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{AC-AP}{AB}$=$\frac{AC-\frac{\sqrt{2}}{2}AE}{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k；
（3）①解法一：在Rt△AEF中根据勾股定理得：[4-（x+y）]²=x²+y²，进行变形即可；
解法二：由$\frac{AE}{AB}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{y}{2}$，由（2）得：$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，同理可得$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y，由$\frac{CE}{CF}$•$\frac{CF}{CE}$=1，可得（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x）（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y）=1，由此即可解决问题；
②根据条件把问题转化为不等式组解决；

解答 解：（1）证明：延长AD到G，使DG=BE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠B=∠ADC=90°，
∴∠CDG=∠B=90°，
∴△CBE≌△CDG，
∴∠BCE=∠DCG，CE=CG，
∴∠DCG+∠ECD=∠BCE+∠ECD=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠GCF=∠ECF=45°，
又∵CE=CG，CF=CF，
∴△ECF≌△GCF，
∴∠CFE=∠CFG，即CF平分∠DFE．

（2）如图2，过E作EP⊥AC，垂足为P．

∵∠ECF+∠ACF=∠FCD+∠ACF=45°，
∴∠ECF=45°-∠ACF=∠FCD，
又∵∠EPC=∠FDC=90°，
∴△ECP≌△FCD，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=AB=a，AC=$\sqrt{2}$a，∠EAP=45°，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{AC-AP}{AB}$=$\frac{AC-\frac{\sqrt{2}}{2}AE}{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，

（3）①解法1：如图1，由（1）知，△ECF≌△GCF，BE=2-x，DF=2-y，
∴EF=GF=4-（x+y）
在Rt△AEF中根据勾股定理得：[4-（x+y）]²=x²+y²，
整理，得：xy-4（x+y）+8=0，（x-4）（y-4）=8，y-4=$\frac{8}{x-4}$，
所以y与x之间的函数解析式为y=4+$\frac{8}{x-4}$，x的取值范围是0≤x≤2．
解法2：∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{y}{2}$，由（2）得：$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
同理可得$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y，
∵$\frac{CE}{CF}$•$\frac{CF}{CE}$=1，
∴（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x）（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y）=1，
∴（1-$\frac{1}{4}$x）（1-$\frac{1}{4}$y）=$\frac{1}{2}$；
（x-4）（y-4）=8，即y=4+$\frac{8}{x-4}$，x的取值范围是0≤x≤2．

②∵$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$≤$\frac{CE}{CF}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}x≥\frac{5\sqrt{2}}{8}}\\{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}x≤\frac{3\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，解这个不等式组，得：1≤x≤$\frac{3}{2}$；
画出函数y=4+$\frac{8}{x-4}$的图象如图3：

由图象可知：当1≤x≤$\frac{3}{2}$时，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=$\frac{4}{3}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{12}{7}$，
所以y的取值范围是$\frac{4}{3}$≤y≤$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查相似形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、不等式组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．