Question

定义：已知反比例函数y=

k1

x

与y=

k2

x

，如果存在函数y=

k1k2

x

（k₁k₂＞0）则称函数y=

k1k2

x

为这两个函数的中和函数．
（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为y=

2

x

，并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．
（2）函数y=

-3

x

和y=

-12

x

的中和函数y=

m

x

和函数y=k（x²+x-1），试求当y=

m

x

与二次函数y=k（x²+x-1）都是y随着x的增大而减小，求k应满足的条件以及x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数的性质,二次函数的性质

专题：新定义

分析：（1）利用中和函数的定义直接写出答案即可；
（2）在理解中和函数的定义的基础上，分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可．

解答：解：（1）答案不唯一，
如y=

1

x

与y=

4

x

；    
（2）函数y=

-3

x

和y=

-12

x

的中和函数是y=

6

x

，
∵二次函数y=k(x2+x-1)=k(x+

1

2

)2-

5k

4

，对称轴为：直线x=-

1

2

，
要使二次函数y=k（x²+x-1）y随着x的增大而减小，在k＞0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x≤-

1

2

，此时函数y=

6

x

也是y随着x的增大而减小．
在k＜0的情况下，x必须在对称轴的右边，即x≥-

1

2

，且当x≠0时函数y=

6

x

也是y随着x的增大而减小．
∴综上所述，k＜0且x≥-

1

2

且当x≠0时y随着x的增大而减小，当k＞0时，x≤-

1

2

时y随着x的增大而减小．

点评：本题考查了反比例函数及二次函数的性质，解题的关键是了解中和函数的定义，难度不大．