Question

某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数y=

k

x

（k为非零常数）的图象上的一动点．
（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；
（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；
（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）

Answer 1

分析：（1）设出点A的坐标，按照矩形的面积公式求解即可；
（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），根据直线l与双曲线有唯一公共点，可求出A点是CD的中点，继而得出答案；
（3）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），可利用几何法和代数法进行求解．

解答：解：（1）图中点A在第一象限，
设A（x_A，y_A ），OM=x_A，ON=y_A，
S_OMAN=OM•ON=x_A•y_A=k 　　　　　3分

（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），
则点C(-

b

a

，0)，D（（0，b），

y=ax+b y= k x

，ax2+bx-k=0，
图象只有唯一公共点，解

x=- b 2a y= b 2

，
∴A(-

b

2a

，

b

2

)，
∴A是CD中点，由（1）中结论得S_△OCD=2k．3分

（3）几何方法过点A、B分别向坐标轴作垂线段由（1）中的结论得AE•AF=BG•BH，
∴

BG

AE

=

AF

BH

又BG∥AE，得

BG

AE

=

CB

CA

AF∥BH，得

AF

BH

=

DA

DB

得

CB

CA

=

DA

DB

，用比例的性质得DA=BC4分．
代数方法设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），
则点C(-

b

a

，0)，D((0，b)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)AF=xA，GC=-

b

a

-xB，
又由ax2+bx-k=0，得xA+xB=-

b

a

，
得AF=CG，再可由全等证得DA=BC．
利用图3（2）时注意点B的坐标符号，其它方法略．

点评：本题考查了反比例函数的知识，难度不大，注意善于总结这类综合题的解题思路和方法．