Question

【题目】如图，AB、CD 为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF 折叠，使 B 与圆心 M 重合，折痕 EF 与 AB 相交于 N，连结 AE、AF，得到了以下结论：①四边形 MEBF 是菱形，②△AEF 为等边三角形，③S△AEF：S 圆＝3：4π，其中正确的是_______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根据垂径定理可得 BM 垂直平分 EF，再求出 BN＝MN，从而得到 BM、EF 互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF 是菱形，从而得到①正确；②连接 ME，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN＝30°，然后求出∠EMN＝60°，根据等边对等角求出∠AEM＝∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM ＝30°，从而得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，再根据三角形的内角和等于 180°求出∠EAF＝60°，从而判定△AEF 是等边三角形，②正确；③设圆的半径为 r，求出 MN＝r，EN＝ r， 然后求出 AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到③正确．

①根据垂径定理，BM 垂直平分 EF，

又∵纸片沿 EF 折叠，B、M 两点重合，

∴BN＝MN，

∴BM、EF 互相垂直平分，

∴四边形 MEBF 是菱形，故①正确；

②如图，连接 ME，则 ME＝MB＝2MN．

∵∠ENM＝90°，

∴∠MEN＝30°，

∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，

又∵AM＝ME（都是半径），

∴∠AEM＝∠EAM，

∴∠AEM＝ ∠EMN＝ ×60°＝30°，

∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，

同理可求∠AFE＝60°，

∴∠EAF＝60°，

∴△AEF 是等边三角形，故②正确；

③设圆的半径为 r，则 MN＝r，EN＝ r，

∴EF＝2EN＝r，AN＝r+ r＝r，

∴S△AEF：S 圆＝（×r×r）：πr2＝3：4，故③正确；

综上所述，结论正确的是①②③．

故答案①②③．