Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当点坐标为A（4，0）时，求点D的坐标；
（2）求证：OP平分∠AOB；
（3）直接写出OP长的取值范围（不要证明）．

Answer 1

（1）作DM⊥x轴于点M，
∴∠AMD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AMD=∠AOB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠DAM=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA．
在△DMA和△AOB中，

∠AMD=∠AOB ∠DAM=∠OBA AD=AB

，
∴△DMA≌△AOB，
∴AM=OB，DM=AO．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：
OB=

25-16

=3．
∴AM=3，MD=4，
∴OM=7．
∴D（7，4）；
（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE=h，设∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=

5 2

2

．
∴PE=PA•cosα=

5 2

2

cosa．
∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
∴0°≤α＜45°，
∴

2

2

＜cosa≤1．
∴

5

2

＜PE≤

5 2

2

，．
∵OP=

2

PE，
∴

5 2

2

＜OP≤5．