Question

如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：根据∠BDC=∠BEC=90°，可判断出B，C，E，D四点共圆，然后利用同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半可得出，∠DEB=∠DCB=

1

2

∠AOB，∠AEH=

1

2

∠AOB，结合OA=OB可判断出OA⊥DE，继而可得出结论．

解答：证明：如图，连接GD和GE．
∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，
∴DG=

1

2

BC=EG，
又∵DF=EF，
∴GF⊥DE，
延长OA交DE于H．
∵∠BDC=∠BEC=90°
∴B，C，E，D四点共圆，∠DEB=∠DCB=

1

2

∠AOB，
即∠AEH=

1

2

∠AOB，
又∵OA=OB，
∴∠EAH=∠BAO=90°-

1

2

∠AOB，∠EAH+∠AEH=90°，
∴AD⊥DE，
即OA⊥DE
∴AO∥FG．

点评：此题考查了四点共圆的知识，涉及了直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰三角形的性质及平行线的判定，综合的知识点较多，注意融会贯通．