Question

【题目】如图1,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,直线CD与☉O相切于点C,AD⊥CD,垂足为D.

(1)求证:△ACD∽△ABC.

(2)如图2,将直线CD向下平移与☉O相交于点C,G,但其他条件不变.若AG=4,BG=3,求tan∠CAD的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；

（2）根据圆内接四边形的性质求解即可.

试题解析：(1)如图,连接OC,

∵直线CD与☉O相切于C,∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠1=∠2.

∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.

又∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.

∴∠ADC=∠ACB.

∴△ACD∽△ABC.

(2)∵四边形ABGC为☉O的内接四边形,

∴∠B+∠ACG=180°.

∵∠ACG+∠ACD=180°,∴∠ACD=∠B.

∵∠ADC=∠AGB=90°,∴∠DAC=∠GAB.

在Rt△ABG中,AG=4,BG=3,

∴tan∠GAB==.

∴tan∠DAC=.