Question

18．如图，∠C=90°，BC=3，AB=5，点D是BC上一动点，CD=x，DE∥AB交AC于点E，以直线DE为轴作△CDE的轴对称△PDE，△PDE落在△ABC内的面积为y，则下列能刻画y与x之间函数关系的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据DE∥AB可将EC用x表示出来，从而可以得到y与x的关系式，要将面积分成点P在△ABC内及△ABC外两种情况进行分析，就可以得到正确的函数图象．

解答 解：∵∠C=90°BC=3，AB=5∴AC=4
∵DE∥AB，∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{AC}$，
∵CD=x∴$\frac{x}{3}=\frac{EC}{4}$ 化简得 EC=$\frac{4}{3}$x
当点P落在△ABC内部时，y=S_△PDE=$\frac{1}{2}•x•\frac{4}{3}x$=$\frac{2}{3}$x²（0≤x≤$\frac{3}{2}$），此时图象应为抛物线，且y随x的增大而增大；
当点P落在AB上时，如图1，

∵DE∥AB，
∴∠DEF=∠EPA，∠CED=∠A
∵∠CED=∠DEP EC=EP，
∴∠A=∠EPA，
∴AE=EP=EC=2，
同理可得DP=DB=DC=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{3}{2}$；
当点P落在AB外时，设PE与AB交于点M，PD与AB交于点N，如图2，

同理可得EM=AE  DN=DB，
∵AE=4-EC  BD=3-CD
∴PM=PE-ME=$\frac{4}{3}$x-（4-$\frac{4}{3}$x）=$\frac{8}{3}$x-4，PN=PD-ND=x-（3-x）=2x-3，
∴y=S_△PDE-S_△PMN=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{2}×（\frac{8}{3}x-4）（2x-3）$=-2x²+8x-6=-2（x-2）²+2（$\frac{3}{2}$＜x≤3）
当x=2时，y有最大值为2．则图象为抛物线，应先上升再下降．
故选：A．

点评 本题考查了折叠的性质、等腰三角形性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是要通过平行得到三角形边之间的关系，根据点动后形成的不同图形来进行分类讨论．