Question

如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值等于

5

2

3

．

Answer 1

分析：先连接BD，因为四边形ABCD是菱形且∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点D是点B关于AC的对称点，AD=BD，连接MD，由等边三角形的性质可知DM⊥AB，再根据勾股定理即可求出BD的长．

解答：解：先连接BD，交AC于点P′，连接DM，BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BE=DE，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，点D是点B关于AC的对称点，则BP′=DP′，
∴当P于P′重合时PM+PB的值最小，最小值为MD，
∵M是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴DM⊥AB，
∵AD=5，AM=

5

2

，
∴DM=

AD2-AM2

=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

．
故答案为：

5

2

3

．

点评：本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键．