Question

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）证明：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；
（3）在没有辅助线的前提下，图中共有______对相似三角形．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E为AB的中点，
∴M为AD的中点，
∴AM=DM；

（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四边形FDBE是平行四边形，
∴FD=BD，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；

（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：
△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．
分析：（1）连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判断出M是AD的中点，从而得证；
（2）判断出四边形FDBE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等求出BE，再求出AB，然后根据菱形的周长公式进行计算即可得解；
（3）根据两平行直线所截得到的三角形是相似三角形找出相似三角形即可．
点评：本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，菱形的四条边都相等的性质，（3）要注意全等三角形是特殊的相似三角形．