Question

如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．
（1）求证：△FBC≌△FAD；
（2）连接BD，若

FB

BD

=

3

5

，且AC=10，求FC的值．

Answer 1

分析：（1）根据CE=CA得到△ACE为等腰三角形，由CF⊥AE，根据“三线合一”得到F为AE的中点，又根据矩形的性质得到∠ABE为直角，在直角三角形ABE中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AF等于BF，再根据等比对等角得到∠FAB=∠FBA，然后由∠BAD=∠ABC=90°，从而得到∠FAD=∠FBC，最后根据矩形的性质得到对边相等，AD=BC，根据“SAS”即可得证；
（2）根据（1）中的三角形全等得到FC=FD，且∠BFC=∠AFD，又∠AFC为直角，根据等量代换得到∠BFD为直角，由矩形的对角线相等，即AC=BD=10，根据已知的比例式可得FB的长，在直角三角形BFD中，利用勾股定理求出FD，即为FC的长．

解答：（1）证明：∵CE=AC，CF⊥AE，∴AF=EF（1分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°
∴在Rt△ABE中，BF=AF，（1分）
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠FAD=∠FBC，（1分）
∴△FBC≌△FAD；（1分）

（2）解：∵△FBC≌△FAD，∴FC=FD，∠BFC=∠AFD（1分）
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°（1分）
∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，
∵

FB

BD

=

3

5

，且BD=AC=10，∴FB=6，
在直角三角形BDF中，根据勾股定理得：FD=8，（1分）
∴FC=8．（1分）

点评：此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判别与性质．三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS及HL（直角三角形），注意根据题意选择合适的证明方法．第二问的思路是：利用第一问的结论得出相等的边及角，利用等量间的转换构造直角三角形，借助勾股定理解决问题．