Question

9．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①$\frac{∠GEN}{∠BDF}$的值不变；
②∠GEN-∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．

Answer 1

分析 （1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C=∠1+∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，得到∠GEN=180°-2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF=90°-x，据此可得$\frac{∠GEN}{∠BDF}$的值不变．

解答 解：（1）∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．

（2）∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；

（3）结论①$\frac{∠GEN}{∠BDF}$的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴$\frac{∠GEN}{∠BDF}$=$\frac{180°-2x}{90°-x}$=2（定值），
即$\frac{∠GEN}{∠BDF}$的值不变，值为2．

点评 本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．