Question

5．如图，正方形ABCD，点E为正方形外一点，△ADE为等边三角形，连BE，AM⊥DE交BE于P点，连CP．
（1）求∠APB的度数；
（2）求证：AP⊥CP．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABE是等腰三角形，求出∠AEB=15°，可得△PEM是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
（2）连接AC交BE于O，AD交PC于K．由△AOP∽△BOC，推出$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OA}{OP}$，推出$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OC}{OP}$，推出△AOB∽△POC，推出∠PCO=∠ABO=15°，由∠ACD=45°，推出∠KCD=∠DAM=30°，再利用“8字型”证明∠APK=∠CDK即可解决问题；

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△AED是等边三角形，
∴∠DAE=∠AED=60°，AD=AE，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°，
∴∠PEM=45°，
∵AM⊥DE，
∴∠PME=90°，
∴∠MPE=∠APB=45°，
∴∠APB=45°．

（2）证明：连接AC交BE于O，AD交PC于K．
∵∠APO=∠OCB=45°，∠AOP=∠COB，
∴△AOP∽△BOC，
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OA}{OP}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OC}{OP}$，
∵∠AOB=∠COP，
∴△AOB∽△POC，
∴∠PCO=∠ABO=15°，
∵∠ACD=45°，
∴∠KCD=∠DAM=30°，
∵∠CKD=∠AKP，
∴∠APK=∠CDK=90°，
∴CP⊥AM．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．