Question

17．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①点G是BC的中点；
②FG=FC；
③AG∥CF；
④S_△FGC=$\frac{9}{10}$．
其中正确结论是（　　）

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 由正方形和折叠的性质得出AF=AB，∠B=∠AFG=90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=1.5，得出①正确；②不正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB=∠FCG，证出平行线，得出③正确；
求出△FGC的面积=$\frac{9}{10}$，得出④正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=3，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=1，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1，
∴（3-x）²+2²=（x+1）²
解得：x=1.5，
∴BG=GF=CG=1.5，①正确；②不正确；
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AG∥CF，③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴$\frac{{S}_{△CFG}}{{S}_{△CEG}}$=$\frac{FG}{GE}$=$\frac{1.5}{2.5}$=$\frac{3}{5}$，
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$×1.5×2=1.5，
∴S_△CFG=$\frac{3}{5}$×1.5=$\frac{9}{10}$，④正确；
正确的结论是①③④，
故选：D．

点评 本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．