Question

数学活动——求重叠部分的面积。

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。

求重叠部分（△DCG）的面积。

（1）独立思考：请解答老师提出的问题。

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。

（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN求重叠部分(△DMN)的面积、

任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是    

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。

Answer 1

【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中点,

∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB

又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B

∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC

又∵DC=DA,∴G是AC的中点,

∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3

∴S_DCG=×CG·DG=×4×3=6

（25题（2））

【解析】解法一：

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1

∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,

∴∠B=∠2,∴∠1=∠2

∴GH=GD

∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°

∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH

∴点G是AH的中点，

在Rt△ABC中，AB= 10

∵D是AB的中点，∴AD=AB=5

在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,

∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,

∴S_△DGH＝S_△ADH＝××DH·AD=××5=

（25题（2））

解法二：同解法一，G是AH的中点，

连接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中点，∴AH=BH，设AH=x则CH＝８-ｘ

在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=

∴S△ABH=AH·BC=××6=

（25题（2））

∴S_△ＤＧＨ=S_△ADH=× S_△ABH=×=.

解法三：同解法一，∠1=∠2

连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,

作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∵D是AB的中点，∠ACB=90°

∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，∴DM=BC=×6=3

在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN，

∴CN＝.

∵△DGH∽△BDC, ∴,

∴=

∴

（25题（3））

（25题（4））

【答案】①

②注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。