Question

（本小题满分10分）已知关于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx²-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.

Answer 1

（1）略
（2）y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）
（3）当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点

解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x="2" 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x₁，x₂为抛物线y= mx²-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x₁+x₂=，x₁·x₂=
由| x₁－x₂|====，
由| x₁－x₂|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－
即y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）其图象如图所示.

（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y₁，y₂组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y₁=y时，得x²－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y₁=y₂时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.