Question

9．如果m，n是正实数，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数解，那么m+n的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由两方程均有实数根结合根的判别式即可得出m²＞8n、n²≥m，由m、n均为正实数即可得出m（m³-64）≥0，解之即可得出m≥4，再根据n²≥m即可得出n≥2，取m、n的最小值即可得出m+n的最小值．

解答 解：∵方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数解，
∴△=m²-8n≥0，△=4n²-4m≥0，
∴m²＞8n，n²≥m．
∵m，n是正实数，
∴m⁴≥64n²≥64m，即m（m³-64）≥0，
∴m≥4，m的最小值为4；
又∵n²≥m，m≥4，
∴n≥2，n的最小值为2．
∴m+n的最小值为6．
故选D．

点评 本题考查了根的判别式，熟练掌握当方程有实数根时，根的判别式△=b²-4ac≥0是解题的关键．