Question

1．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=4x+a的图象与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C，B．
（1）若点B的横坐标为1，求四边形AOCB的面积；
（2）若一次函数y=4x+a的图象与函数y=x+1的图象的交点B始终在第一象限，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线BC的解析式，进而得出C点坐标，再利用S_{四边形AOCB}=S_△AOB+S_△COB，进而得出答案；
（2）首先联立两函数解析式，进而表示得出x=$\frac{1-a}{3}$＞0，即可得出答案．

解答 解：（1）∵点B的横坐标为1，点B在y=x+1的图象上，
∴B（1，2），
把B（1，2）代入y=4x+a得：a=-2，
∴直线BC的解析式为y=4x-2，
当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，
∴C（$\frac{1}{2}$，0），
y=x+1，当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
∴S_{四边形AOCB}=S_△AOB+S_△COB=$\frac{1}{2}×1×1$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2$=1；

（2）联立两函数解析式为：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+a}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-a}{3}}\\{y=\frac{1-a}{3}+1}\end{array}\right.$，
要是两函数交点在第一象限，
∴x=$\frac{1-a}{3}$＞0，
解得：a＜1．

点评 此题主要考查了两直线相交问题，正确得出直线BC的解析式是解题关键．