如图.将边长为1.中心为点O的正方形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°．(1)第1秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π.第2秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π.第2013秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π．(2)分别求出第1秒.第2秒.第2013秒点A经过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图，将边长为1，中心为点O的正方形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°．
（1）第1秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，第2秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，第2013秒点O经过的路线长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π．
（2）分别求出第1秒、第2秒、第2013秒点A经过的路线长．

分析（1）第1秒点O经过的路线长为以点B为圆心，OB长为半径，90°的圆弧；第2秒点O经过的路线长为以点C为圆心，OC长为半径，90°的圆弧，根据弧长公式计算即可，正方形每秒都要翻滚90°，翻转一周共四次，一共翻滚360°，算出OC的长等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再求出正方形的中心O所经过的路径长；
（2）第1秒点A经过的路线长为以点B为圆心，AB长为半径，90°的圆弧，第2秒是C点为圆心CA为半径，第三秒D点为圆心DA为半径，第四秒A为圆心路径为0，4秒一个大周期，根据弧长公式计算即可．

解答解：（1）∵AB=1，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴第1秒点O经过的路线长为$\frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，
第2秒点O经过的路线长为$\frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，
第2013秒点O经过的路线长为$\frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，$\frac{\sqrt{2}}{4}$π；
（2）第1秒点A经过的路线长为$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π，
第2秒点A经过的路线长为$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π，
第2013秒点A经过的路线长为$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π．

点评本题考查了弧长的计算以及旋转的性质，熟记弧长公式l=$\frac{nπr}{180}$是解题的关键．

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