Question

【题目】如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．

（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；

（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB=．

【解析】

(1)由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；

(2)根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF的长，即可求解．

(1)由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，

∵∠EAF=45°,

∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，

又∵∠B=∠D=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形；

(2)∵EC=FC=1，

∴BE=DF，EF=，

∵EF=EG+GF=BE+DF，

∴BE=DF=EF=，

∴AB=BC=BE+EC=．