Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．

                                       

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，且MB=MG．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴，，∵BD平分∠ABC，∴，∴，∵DE⊥AB于点E，∴，∴，∴△BCE是等边三角形

（2）AD = DG＋DM

（3）AD = DG－DN

【解析】

试题分析：（1）要证明△BCE是等边三角形，首先要知道BC和BE相等，由于已给出，所以要证明，只需证明，利用题目中给出的数据，可以很容易求出。（2）由于，且，所以△MGB是等边三角形，做GF交DB于点F，所以△DFG为等边三角形，所以，又，，所以△MDG≌△BFG，所以，又，，而，所以

（3）延长BD至H，使得，由（1）得，，∵DE⊥AB于点E，∴，∴，∴△NDH是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，即，在△DNG和△HNB中，，，，∴△DNG≌△HNB，∴DG=HB，∵HB=HD＋DB=ND＋AD，∴DG= ND＋AD，∴AD = DG－ND

考点：其中一个锐角为30度的直角三角形的特殊性

点评：本题较为复杂，第一问通过直角三角形的特殊性，可以较容易解出来