Question

【题目】已知：点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥O B．做∠ACD的平分线CF，过点C画CF的垂线CG，如图所示．

（Ⅰ）若∠AOB=40°，求∠ACD及∠ECF的度数；

（Ⅱ）求证：CG平分∠OCD；

（Ⅲ）延长FC交OB于点H，用直尺和三角板过点O作OR⊥FH，垂足为R，过点O

作FH的平行线交ED于点Q．先补全图形，再证明∠COR=∠GCO，∠CQO=∠CHO．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠ECF的度数；

（Ⅱ）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得∠OCG和∠DCG的关系，从而可以证明结论成立．

（Ⅲ）画出图形，只要证明CG∥OR，四边形OHCQ是平行四边形即可解决问题；

（Ⅰ）解：∵直线DE∥OB，CF平分∠ACD，∠O=40°，

∴∠ACE=∠O，∠ACF=∠FCD，

∴∠ACE=40°，

∴∠ACD=140°，

∴∠ACF=70°，

∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=40°+70°=110°；

（Ⅱ）证明：∵CF平分∠ACD，CG⊥CF，∠ACD+∠OCD=180°，

∴∠ACF=∠FCD，∠FCG=90°，

∴∠FCD+∠DCG=90°，∠ACF+∠OCG=90°，

∴∠DCG=∠OCG，

∴CG平分∠OCD．

（Ⅲ）解：图形如图所示，

理由：∵GC⊥FH，OR⊥FH，

∴GC∥OR，

∴∠COR=∠GCO．

∵CQ∥OH，OQ∥CH，

∴四边形OHCQ是平行四边形，

∴∠CQO=∠OHC．