Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0）且a、b满足|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0．E为线段AB上一动点，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延长线上，试求：

（1）判断△OAB的形状，并说明理由；

（2）如图1，当点E与点A重合时，探究线段AC与BD的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图2，当点E在线段AB（不与A、B重合）上运动时，试探究线段EC与BD的数量关系，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）△OAB是等腰直角三角形；（2）AC＝2BD，理由见解析；（3）EC＝2BD，证明见解析

【解析】

（1）根据非负性得出a，b的值进而解答即可．

（2）延长BD与y轴交于点F，证明△ABD≌△AFD，可得BD＝DF，再证明△AOC≌△BOF，可得AC＝BF，即可得出结论；

（3）过点E作EN⊥x轴于点K，交BD的延长线于点N，证明△EBD≌△END，可得BD＝DN，再证明△EKC≌△BKN，可得EC＝BN，则结论得证．

解：（1）∵|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0，|a+2b﹣6|≥0，|a﹣2b+2|≥0

∴，

解得，

∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，

∴△OAB是等腰直角三角形．

（2）AC＝2BD，理由如下：如图1，延长BD与y轴交于点F，

∵，

∴∠BAD＝∠FAD

又∵BD⊥EC，∠ADB＝∠ADF，

在△ADB和△ADF中，

，

∴△ABD≌△AFD（ASA），

∴BD＝DF，

∵

∴

在△AOC和△BOF中

∴△AOC≌△BOF（ASA），

∴AC＝BF，

∴AC＝2BD；

（3）EC＝2BD，证明如下：

如图2，过点E作EN⊥x轴于点K，交BD的延长线于点N，

∴EN∥y，

∴∠NEB＝∠OAB，

∵∠BED＝∠OAB，

∴∠NED＝∠BED，

在△EBD和△END中，

，

∴△EBD≌△END（ASA），

∴BD＝DN，

∴

在△EKC和△BKN中，

∴△EKC≌△BKN（ASA），

∴EC＝BN，

∴EC＝2BD．