Question

如图，在Rt△A BC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M为AC上一点且AM=BC，过A点作射线AN⊥CA，A为垂足，若一动点P从A出发，沿AN运动，P点运动的速度为2cm/秒．
（1）经过几秒△ABC与△PMA全等；
（2）在（1）的条件下，AB与PM有何位置关系，并加以说明．
（3）在（1）的条件下，设PM与AB的交点为D，若AD的长为4.8cm，求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵△ABC与△PMA全等，
∴AM=BC=6cm，∠C=∠MAP=90°，
∴只能是AP=AC=8cm，
即2t=8
∴t=4（s），
即经过4秒△ABC与△PMA全等；

（2）AB与PM有何位置关系是AB⊥PM，理由是：
∵△ABC≌△PMA，
∴∠BAC=∠APM，
∵∠MAP=90°，
∴∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠BAP+∠APM=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AB⊥PM．

（3）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理得：AB=10cm．
分析：（1）根据全等得出AP=AC=8cm，推出2t=8，求出即可；
（2）垂直，理由是根据全等推出∠BAC=∠APM，求出∠BAP+∠APM=90°，求出∠PDA=90°即可；
（3）在Rt△ACB中，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了垂直定义，全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，问题之间有一定的联系性，是一道比较好的题目．