Question

已知，∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分∠BAE．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：先由∠CAD=∠CDA，根据等角对等边得出AC=DC，于是可证AC：BC=EC：AC=

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，又∠C公共，得出△BAC∽△AEC，那么∠B=∠CAE，再由∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B，∠CDA=∠B+∠BAD，即可证明∠DAE=∠BAD，AD平分∠BAE．

解答：证明：∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC．
又∵AC=BD，
∴AC=BD=DC．
∴AC：BC=AC：（BD+DC）=

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，
∵DE=EC，DE+EC=DC，
∴EC=

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DC=

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AC，
∴EC：AC=（

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AC）：AC=

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，
∴AC：BC=EC：AC=

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．
在△BAC与△AEC中，

AC：BC=EC：AC ∠C=∠C ;

∴△BAC∽△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B，
∵∠CDA=∠B+∠BAD，
又∵∠CAD=∠CDA，
∴∠DAE=∠BAD，
∴AD平分∠BAE．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．得出AC：BC=EC：AC=

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是解题的关键．