Question

如图，已知抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于C．
（1）求点A、B、C的坐标及直线BC的解析式；
（2）设抛物线的顶点为点D，求△ACD的面积S
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别把x=0和y=0代入抛物线，即可求出A、B、C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标，过D作DN⊥OA于N，根据S_△ACD=S_t梯形ONDC+S_△AND-S_△AND和三角形的面积代入求出即可；
（3）分为两种情况：①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，设此时点的坐标是（x，-x-1），根据勾股定理得出1²+2²=（0-x）²+[-1-（-x-1）]²，即可求出此时P的坐标；②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，同法可得到1²+2²=（2-x）²+[0-（-x-1）]²，求出即可．
解答：解：（1）把y=0代入抛物线得：x²-x-1=0，
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴A（2，0），B（-1，0），
把x=0代入抛物线得：y=0-0-1=-1，
∴C（0，-1），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
把B（-1，0），C（0，-1）代入得：，
解得：k=-1，b=-1，
∴y=-x-1，
答：A（2，0），B（-1，0），C（0，-1），直线BC的解析式是y=-x-1．

（2）过D作DN⊥OA于N，
∵y=x²-x-1，
∴x=-=-=，
把x=代入抛物线得：y=-，
∴D（，-），
∴N（，0），
∵A（2，0），C（0，-1），
∴AN=2-=，ON=，DN=，OC=1，
∴S_△ACD=S_t梯形ONDC+S_△AND-S_△AND，
=×（1+）×+××-×2×1，
=，
答：△ACD的面积是．

（3）分为两种情况：
①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，
此时所得三角形ACP和三角形ACP′是等腰三角形，
设此时点的坐标是（x，-x-1），
∵A（2，0），C（0，-1），AC=CP，
由勾股定理得：AC²=CP′²，
∴1²+2²=（0-x）²+[-1-（-x-1）]²，
解得：x=±，
当x=时，-x-1=-，
当x=-时，-x-1=，
∴P的坐标是（，-）或（-，），
②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，
同法可得到：1²+2²=（2-x）²+[0-（-x-1）]²，
解得：x₁=0，x₂=1，
∵C（0，-1），
∴x=0舍去，
∴x=1，-x-1=-2，
∴P″（1，-2）．
答：在直线BC上存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形，点P的坐标是（，-）或（-，）或（1，-2）．
点评：本题综合考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度，对学生提出较高的要求，分类讨论思想的运用．