Question

如图，∠MON=90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．
（1）求∠P的度数；
（2）若∠MON=80°，其余条件不变，求∠P的度数；
（3）经过（1）、（2）的计算，猜想并证明∠MON与∠P的关系．

Answer 1

分析：（1）利用外角性质，求得∠BAM+∠ABN=270°；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．∴∠BAP+∠ABP=

1

2

（∠BAM+∠ABN）=135°，由三角形内角和定理，∴∠P=180°-135°=45°；
（2）与问题（1）的思路相同；
（3）利用外角性质，求得∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．求∠BAP+∠ABP，由三角形内角和定理，∠BAP+∠ABP+∠P=180°从而求所求的度数．

解答：解：（1）∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+90°=270°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=

1

2

∠BAM，∠ABP=

1

2

∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=

1

2

（∠BAM+∠ABN）=135°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-135°=45°；

（2）∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+80°=260°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=

1

2

∠BAM，∠ABP=

1

2

∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=

1

2

（∠BAM+∠ABN）=130°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-130°=50°；

（3）∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠MON+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=

1

2

∠BAM，∠ABP=

1

2

∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=

1

2

（∠BAM+∠ABN）=

1

2

（180°+∠MON）
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°

1

2

（180°+∠MON）+∠P=180°
∴∠MON+2∠P=180°．

点评：考查三角形外角性质、内角和定理，角平分线的定义等知识．