Question

如图，双曲线y=

2

x

（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  7

  4

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=

1

2

xy，则S_△OCB′=

1

2

xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于

1

2

ay，即可得出答案．

解答：解：设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，
设点C（x，y），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴CD⊥x轴，
由折叠的性质可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵

OC=OC CB′=CD

，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线y=

2

x

（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=

1

2

xy=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=

1

2

ay=

1

2

，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1+

1

2

+

1

2

=2．
故选C．

点评：本题属于反比例函数的综合题，考查了折叠的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．