Question

9．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=$\sqrt{13}$，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．

解答 解：（1）AP=BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，
∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠CBQ}\\{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCQ}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP=BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴BH=$\sqrt{B{Q}^{2}-Q{H}^{2}}$=$\sqrt{13-9}$=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x²=（x-2）²+3²，
解得x=$\frac{13}{4}$．
∴QM的长为$\frac{13}{4}$；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，
∴QH=BC=AB=m+n．
∴BQ²=AP²=AB²+PB²，
∴BH²=BQ²-QH²=AB²+PB²-AB²=PB²，
∴BH=PB=m．
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x²=（x-m）²+（m+n）²，
解得x=m+n+$\frac{{n}^{2}}{2m}$，
∴AM=MB-AB=m+n+$\frac{{n}^{2}}{2m}$-m-n=$\frac{{n}^{2}}{2m}$．
∴AM的长为$\frac{{n}^{2}}{2m}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．