Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、点E分别在线段BC和线段AB上，∠AED+∠ADB=180°，AD平分∠BAC．
（1）如图1，求证：AD⊥DE．
（2）如图1，若AC=2CD．探究出BD与BE的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）条件下，如图2，作等腰Rt△ACR，∠RAC=90°，K为AC上一点，RK交AB、AD于点M、点N，RC交AB、AD于点F、点G，∠GKC=∠GDC，FG=5$\sqrt{2}$，求AN的长．

Answer 1

分析 （1）先根据∠AED+∠ADB=180°，∠AED+∠DEB=180°，得出∠BED=∠BDA，进而得到∠BDE=∠CAD，再根据∠CAD+∠CDA=90°，得到BDE+∠CDA=90°，即可得出∠ADE=90°；
（2）先设CD=k，AC=2k，根据△ACD∽△ADE，得出DE的长，再作EF⊥BD与F，根据△DEF∽△ADC，求得EF，DF的长，再根据平行线分线段成比例，求得BF，BD的长，最后根据勾股定理求得BE，即可得出BD与BE的数量关系；
（3）先判定△CDG≌△CKG（AAS），得出CK=CD，在等腰Rt△ACR中，求得边长，再根据平行线分线段成比例，求得CG和RF，根据FG=CR-RF-CG，列出关于k的方程，求得k的值，最后判定△ACD≌△RAK，推出AN⊥RK，运用面积法即可求得AN的长．

解答 解：（1）如图1，∵∠AED+∠ADB=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠EBD=∠DBA，
∴∠BDE=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BDE=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∴BDE+∠CDA=90°，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE；

（2）BD=2BE．
理由如下：设CD=k，则AC=2k，
∵∠C=90°，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{5}$k，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ACD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AC}{CD}$=2，即$\frac{\sqrt{5}k}{DE}$=2，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}k$，
如图1，作EF⊥BD与F，则∠DFE=90°=∠C，
又∵∠EDF=∠DAC，
∴△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{DC}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{EF}{k}$=$\frac{DF}{2k}$=$\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$k，DF=k，
∵EF∥AC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{\frac{1}{2}k}{2k}$=$\frac{BF}{BF+2k}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$k，BD=$\frac{5}{3}$k，
∵Rt△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{36}{k}^{2}}$=$\frac{5}{6}$k，
∴BD=2BE；

（3）如图2，在△CDG和△CKG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠CKG}\\{∠DCG=∠KCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CKG（AAS），
∴CK=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵等腰Rt△ACR中，∠RAC=90°，
∴AR=AC=2CD=2k，CR=2$\sqrt{2}$k，
∵∠ACD=90°=∠CAR，
∴CD∥AR，
∴$\frac{CD}{RA}$=$\frac{CG}{RG}$=$\frac{k}{2k}$=$\frac{1}{2}$，
∴CG=$\frac{1}{3}$CR=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$k=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$k，
∵BC∥RA，
∴$\frac{AR}{BC}$=$\frac{RF}{CF}$=$\frac{2k}{\frac{8}{3}k}$=$\frac{3}{4}$，
∴RF=$\frac{3}{7}$CR=$\frac{3}{7}$×2$\sqrt{2}$k=$\frac{6}{7}\sqrt{2}$k，
∵FG=CR-RF-CG，
∴5$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$k-$\frac{6}{7}\sqrt{2}$k-$\frac{2}{3}\sqrt{2}$k，
解得k=$\frac{21}{2}$，
∴AK=$\frac{21}{2}$，AR=21，
∴Rt△AKR中，RK=$\sqrt{A{R}^{2}+A{K}^{2}}$=$\frac{21}{2}\sqrt{5}$，
在△ACD和△RAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AK}\\{∠ACD=∠RAK}\\{AC=RA}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△RAK（SAS），
∴∠CDA=∠AKR，
∵Rt△ACD中，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠AKN=90°，即∠ANK=90°，
∴AN⊥RK，
∴$\frac{1}{2}$×RK×AN=$\frac{1}{2}$×AK×AR，
即$\frac{21}{2}\sqrt{5}$×AN=$\frac{21}{2}$×21，
解得AN=$\frac{21}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形，解题时注意方程思想的运用和面积法的运用．