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已知:如图,有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且AB=3.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).

【答案】分析:(1)要求双曲线的解析式,主要是求得点A的坐标,根据30°的直角三角形的性质即可求得OB的长,则得到点A的坐标,再根据待定系数法进一步求得双曲线的解析式;
(2)阴影部分的面积即为扇形OAA′的面积减去三角形OCD的面积.
解答:解:(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
=
∴OB=AB•=3
∴点A(3,3).
设双曲线的解析式为y=(k≠0).
∴3=,k=9
则双曲线的解析式为y=

(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin∠AOB=,sin30°=
∴OA=6.
由题意得:∠AOC=60°,
S扇形AOA′=
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3
∴OD=OC•cos45°=3
∴S△ODC=
∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-
点评:综合考查了30°的直角三角形的性质、待定系数法求函数的解析式、扇形的面积公式.
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(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).

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3
,若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,则图中阴影部分的面积等于
 
.(结果保留π)

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