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在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为MMHx轴于点HMAy轴于点N,sin∠MOH.  

(1)求此抛物线的函数表达式;

(2)过H的直线与y轴相交于点P,过OM两点作直线PH的垂线,垂足分别为EF,若 时,求点P的坐标;

(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MDQ为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQx轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使△ANG 与△ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由

 



解:(1)∵ M为抛物线的顶点,

M(2,c).∴OH=2,MH=|c|.∵a<0,且抛物线与x轴有交点,∴c>0,∴MHc

∵sin∠MOH,∴.∴OM,∵,∴MHc=4.∴M(2,4).∴抛物线的函数表达式为:.-----------4分

(2)如图1,∵OEPHMFPHMHOH

∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.∴△OEH∽△HFM.----------2分

.∵,∴MFHF

∴∠OHP=∠FHM=45°.∴OPOH=2,∴P(0,2).

 如图2,同理可得,P(0,﹣2).-------------------------------------------2分

(3)∵A(-1,0),∴D(1,0).

M(2,4),D(1,0),∴MD.∵ONMH,∴△AON∽△AHM,∴,∴ANONN(0,).

如图3,若△ANG ∽ △AMD,可得NGMD,∴QG.--------2分

 如图4,若△ANG ∽ △ADM,可得,

AG,∴G,0),∴QG

综上所述,符合条件的所有直线QG的解析式为:.---2分

 



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