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    对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x时，其函数值y恰好也为x，则点（x，x）为这个函数的和谐点，已知函数，请运用定义进行解答
    （1）若有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
    （2）若函数中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数与的图象有怎么样的位置关系？
    （3）若函数的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．
    【答案】分析：（1）把（4，4），（-2，-2）代入函数解析式得到关于a，b的方程组，然后解方程组就可以确定函数的解析式；
    （2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因而可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于b和x的方程，从而求得b的值，进而确定两个函数的图象的关系；
    （3）根据（2）的方法：可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于a，b和x的方程，即可求得a的范围．
    解答：解：（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=，得到：
    ，
    解得：；

    （2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：=x，则x2+（b-3）x-4=0…①；
    =-x，则x2-（b-3）x-4=0…②．
    ①-②得：b-3=0．则b=3．
    则y===3-，
    则函数的图象向下移动3个单位长度即可得到的图象；

    （3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则=x，即x2+（b-3）x-a=0…③；
    =-x，则x2-（b-3）x-a=0…④．
    ③-④得：b-3=0，则b=3．
    ③+④得：2x2-2a=0，即a=x2．
    又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
    ∵-x+b≠0，
    ∴a≠9．
    故a的范围是：a＞0且a≠9．
    点评：此题首先考查了用待定系数法确定函数的解析式，然后考查了利用平移规律找到几个图象相同的函数之间的联系．
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    精英家教网九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册中，有以下几段文字：“对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．”“一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．”“实际上，所有一次函数的图象都是一条直线．”“因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线，就可以了．”由此可知：满足函数关系式的有序实数对所对应的点，一定在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点的坐标，一定满足这个函数的关系式．另外，已知直线上两点的坐标，便可求出这条直线所对应的一次函数的解析式．
    问题1：已知点A（m，1）在直线y=2x-1上，求m的方法是：
     
    ，∴m=
     
    ；已知点B（-2，n）在直线y=2x-1上，求n的方法是：
     
    ，∴n=
     
    ；
    问题2：已知某个一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（-4，-9），求这个一次函数的解析式时，一般先
     
    ，再由已知条件可得
     
    ．解得：
     
    ．∴满足已知条件的一次函数的解析式为：
     
    ．这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为：
     
    ，在右侧给定的平面直角坐标系中，描出这两个点，并画出这个函数的图象．像解决问题2这样，
     
    的方法，叫做待定系数法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x0时，其函数值y恰好也为x0，则点（x0，x0）为这个函数的和谐点，已知函数y=
    3x+a
    x+b
    (a、b为常数)    ，请运用定义进行解答
    （1）若y=
    3x+a
    x+b
    有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
    （2）若函数y=
    3x+a
    x+b
    中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数y=
    3x+a
    x+b
    与y=-
    5
    x+3
    的图象有怎么样的位置关系？
    （3）若函数y=
    3x+a
    x+b
    的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x0时，其函数值y恰好也为x0，则点（x0，x0）为这个函数的和谐点，已知函数数学公式，请运用定义进行解答
    （1）若数学公式有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
    （2）若函数数学公式中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数数学公式与数学公式的图象有怎么样的位置关系？
    （3）若函数数学公式的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．

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    科目：初中数学 来源：1999年河北省中考数学试卷 题型：解答题

    （1999•河北）九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册中，有以下几段文字：“对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．”“一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．”“实际上，所有一次函数的图象都是一条直线．”“因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线，就可以了．”由此可知：满足函数关系式的有序实数对所对应的点，一定在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点的坐标，一定满足这个函数的关系式．另外，已知直线上两点的坐标，便可求出这条直线所对应的一次函数的解析式．
    问题1：已知点A（m，1）在直线y=2x-1上，求m的方法是：    ，∴m=    ；已知点B（-2，n）在直线y=2x-1上，求n的方法是：    ，∴n=    ；
    问题2：已知某个一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（-4，-9），求这个一次函数的解析式时，一般先    ，再由已知条件可得    ．解得：    ．∴满足已知条件的一次函数的解析式为：    ．这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为：    ，在右侧给定的平面直角坐标系中，描出这两个点，并画出这个函数的图象．像解决问题2这样，    的方法，叫做待定系数法．

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