Question

探索、研究：
仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a_n与层数n之间满足关系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n为整数．
（1）例如：当n=2时，a₂=2²-32×2+247=187，则a₅=

 

．
（2）第n层比第（n+1）层多堆放

 

个仪器箱．（用含n的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，根据题中条件判断仪器箱最多可以堆放

 

层．
（4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
  ①若仪器箱仅堆放第1、2两层，则第1层中每个仪器箱承受的平均压力为

 

N．
  ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放

 

层．

Answer 1

分析：（1）把n=5代入n²-32n+247进行计算即可；
（2）分别计算a_n+1与a_n，然后计算出它们的差；
（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，即可得到n=12，即仪器箱最多可以堆放的层数；
（4）①第1层中每个仪器箱承受的平均压力=

54×187

216

；
②第2到第五层共有594个仪器箱，则可计算出第1层中每个仪器箱承受的平均压力为148.5＜160，可判断最多可以堆放 5层．

解答：解：（1）a₅=5²-32×5+247=112；

（2）a_n+1-a_n=n²-32n+247-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n；

（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，
当n=19或n=13，a=0，
∴仪器箱最多可以堆放12层；

（4）①第一层有216块，
∴第1层中每个仪器箱承受的平均压力=

54×187

216

=46.75（N）；
②a₁=216，a₂=187，a₃=160，a₄=135，a₅=112，
∴第1层中每个仪器箱承受的平均压力=

54×594

216

≈148.5＜160，
所以仪器箱最多可以堆放 5层．
故答案为112；（31-2n）；12；46.75；5．

点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．