Question

（2002•朝阳区）已知：以直线x=1为对称轴的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且经过点（4，）和（0，-）．点P（x，y）在抛物线的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），在x轴上有一点C使△OPC是等腰三角形，OP=PC．
（1）若∠OPC是直角，求点P的坐标；
（2）当点P移动时，过点C作x轴的垂线，交直线AM于点Q，设△AQC的面积为S，求S关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并画出它的图象．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线的对称轴方程以及抛物线图象上已知的两点坐标，即可用待定系数法确定该二次函数的解析式，从而求出A、B、M的坐标，由于点P在M点右侧的半支上运动，可据此求出x的取值范围；
①若点P位于第四象限，可过P作x轴的垂线，设垂足为D，由于△OPC是等腰Rt△，则OD=DC=PD=x，根据抛物线的解析式，可表示出P点的纵坐标，联立PD的长即可列出关于x的方程，求出P点的坐标；
②若点P位于第一象限，过P作PE⊥x轴于E，方法与①相同；
要注意上述两种情况的自变量的取值范围，可根据这个条件将不合题意的解舍去；
（2）先求出直线AC的解析式，根据C点的横坐标，可表示出Q点的坐标，以AC为底，Q点纵坐标的绝对值为高，即可得到△QAC的面积，可由此求出S、x的函数关系，自变量的取值范围与（1）题相同．
解答：解法一：
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+n（a≠0），
∵抛物线过点（4，），（0，-），
∴，
解得；
∴；
∴顶点M的坐标为（1，-1）；
∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），
令y=0，
则=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），
∵点P（x，y）在抛物线的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
在△POC中，OP=PC，∠OPC=90°，
①当1≤x＜3时，点P（x，y）在第四象限内（x＞0，y＜0），过点P作PD⊥x轴于D点，则点D的坐标为（x，0）（如图1），且PD=OD，
PD=|0-y|=-y，
OD=|x-0|=x，
∴y=-x；
∴-x=，
∴x²+2x-3=0；
解得x=1，且x=-3（舍），
∴y=-x=-1；
∴点P的坐标为（1，-1）．
②当x＞3时，点P（x，y）在第一象限内（x＞0，y＞0），
过点P作PE⊥x轴于点E，则点E的坐标为（x，0）（如图1），
且OE=PE，PE=|0-y|=y，OE=|x-0|=x，
∴y=x，
∴x=
∴x²-6x-3=0，
解得x=3±2（舍负），
∴y=x=3+2，
∴点P的坐标为（3+2，3+2）．
综合①②，点P的坐标为（1，-1），或（3+2，3+2）；

（2）设过点A（-1，0），M（1，-1）的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得；
∴直线AM的解析式为y=-x-，
∵OP=PC，作PF⊥x轴于F（如图2），

得OC=2OF，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（2x，0）（x≥1且x≠3）；
∵CQ⊥x轴于点C，交直线AM于点Q，
∴点Q的坐标为（2x，-x-），
∴S=AC•CQ
=|2x-（-1）|•|0-（-x-）|
=（2x+1）（x+）
=（x+）²
=x²+x+；
∴自变量x的取值范围是x≥1且x≠3，图象如图3；
解法二：
（1）接解法一中A（-1，0），B（3，0），
∵PO=PC，
点P（x，y），作PD⊥x轴于点D，则OC=2OD（如图1），
∴点C的坐标为（2x，0）；
∵∠OPC=90°，
∴OP²+PC²=OC²，
又OP=PC，
∴2OP²=OC²
∴2（y²+x²）=（2x）²；
∴y²=x²；
又∵点P（x，y）在抛物线y=上，
∴；
解得
∵点P在抛物线y=的顶点M的右侧的半支上（包括顶点M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
∴点P的坐标为（3+2，3+2），或（1，-1）．
（2）同解法一．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、函数图象交点及图形面积的求法、二次函数的应用等知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．