Question

14．如图，在△ABC中，AB=6$\sqrt{5}$，AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 找出PQ的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值．

解答 解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，
∴FD⊥AB，
∵AB=6$\sqrt{5}$，AC=12，BC=6，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CA=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴PQ=CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×12}{6\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 此题考查了切线的性质，垂线段最短，圆周角定理，以及直角三角形面积的求法，其中根据题意得：当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD为最小值是解本题的关键．