Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C₁：y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．
（1）求抛物线解析式及C点坐标．
（2）向右平移抛物线C₁，使平移后的抛物线C₂恰好经过△ABC的外心，抛物线C₁、C₂相交于点D，求四边形AOCD的面积．
（3）已知抛物线C₂的顶点为M，设P为抛物线C₁对称轴上一点，Q为抛物线C₁上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=2x+4，求得点A和点B的坐标，再根据抛物线C₁过A、B两点，运用待定系数法即可求得抛物线解析式，最后令y=0，求得C点坐标；
（2）先证明△ABC是直角三角形，求得△ABC的斜边BC的中点E的坐标，再结合F点坐标求得抛物线C₂的解析式，再联立方程组并解出交点D的坐标，最后根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S△_OCD，即可得出四边形AOCD的面积；
（3）根据以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论可能的情形，根据平行四边形顶点的位置即可得出P点坐标．

解答 解：（1）∵直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A（0，4），
令y=0，可得x=-2，则点B的坐标为（-2，0），
将A（0，4），B（-2，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4=c}\\{0=-\frac{1}{4}×4-2b+c}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴抛物线C₁的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
令y=0，则-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得x=8，
∴C点坐标为C（8，0）；

（2）如图1，连接AC，
由（1）知，C（8，0），A（0，4），B（-2，0），
∴AC²=AO²+OC²=80，AB²=AO²+OB²=20，BC²=10²=100，
∴BC²=AC²+AB²，
∴△ABC是直角三角形．
设△ABC的斜边BC的中点为E，则CE=$\frac{1}{2}$×（8+2）=5，
∴OE=CO-CE=3
∴△ABC的斜边BC的中点E的坐标为（3，0），
∵抛物线C₂恰好经过△ABC的外心，E为△ABC的外心，
∴OF=3+10=13，即F（13，0），
由E（3，0），F（13，0），得抛物线C₂：y=-$\frac{1}{4}$（x-3）（x-13）=-$\frac{1}{4}$x²+4x-$\frac{39}{4}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+4x-\frac{39}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{2}}\\{y=\frac{75}{16}}\end{array}\right.$，即D（$\frac{11}{2}$，$\frac{75}{16}$），
如图2，连接AD，OD，CD，则
S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S△_OCD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{11}{2}$+$\frac{1}{2}$×8×$\frac{75}{16}$=$\frac{119}{4}$，
∴四边形AOCD的面积为$\frac{119}{4}$；

（3）存在．点P的坐标为（3，0）或（3，-$\frac{25}{2}$）或（3，-25）．
分3种情况：
①如图，当四边形BPMQ为平行四边形时，BP∥QM，BP=QM，
∵抛物线C₁中，Q（3，$\frac{25}{4}$），抛物线C₂中，M（8，$\frac{25}{4}$）
∴由平移方向可得QM∥x轴，QM=5=BE，
∴BP与x轴重合，
∴点P与点E重合，即P（3，0）；

②如图，当四边形BQPM为平行四边形时，PQ∥MB，
∵根据点M与点P的位置可知，点M与点P的水平距离为8-3=5，
∴点Q与点B的水平距离为5，即点Q的横坐标为-7，
在抛物线C₁中，当x=-7时，y=-$\frac{75}{4}$，即Q（-7，-$\frac{75}{4}$），
∵根据点M与点B的位置可知，点M与点B的铅垂距离为$\frac{25}{4}$，
∴点Q与点P的铅垂距离为$\frac{25}{4}$，即点P离y轴的距离为$\frac{75}{4}$-$\frac{25}{4}$=$\frac{25}{2}$，
∴P（3，-$\frac{25}{2}$）；

③如图，当四边形PQMB为平行四边形时，PQ∥BM，
∵根据点B与点P的位置可知，点B与点P的水平距离为3-（-2）=5，
∴点Q与点M的水平距离为5，即点Q的横坐标为8+5=13，
在抛物线C₁中，当x=13时，y=-$\frac{75}{4}$，即Q（13，-$\frac{75}{4}$），
∵根据点M与点Q的位置可知，点M与点Q的铅垂距离为$\frac{25}{4}$-（-$\frac{75}{4}$）=25，
∴点B与点P的铅垂距离为25，即点P离y轴的距离为25，
∴P（3，-25）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合运用，综合性较强，需要综合运用待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识．在解题时要利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，要注意分类讨论思想的应用．