Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）若直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）点P（m，n）是直线l上的动点，设m=

2

3

-a（a＞0），如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a是取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（I）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；
（II）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式，再根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式；
（III）由（II）可知y=-2x+2，又因为m=

2

3

-a（a＞0），所以P点的坐标可用含a的代数式表示为（

2

3

-a，

2

3

+2a），若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，则可求出m的取值范围，进而可求出a的取值范围．

解答：解：（1）当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2），
抛物线的对称轴为直线x=-

-2m

2m

=1，
∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），
则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

2k+b=-2 k+b=0

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，
所以，抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x²-4x-2；
（III）∵y=-2x+2，点P在直线上，
∴P点的坐标可用含a的代数式表示为（

2

3

-a，

2

3

+2a），
∵a＞0，
∴m＜

2

3

＜a，
若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，则

0≤m＜ 2 3 1＜a≤2

或

-1≤m＜0 2 3 ＜a≤1

，
解得：

1

6

＜a＜

2

3

．

点评：本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（II）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键．