Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．
其中正确的有（　　）

• A、①②③
• B、②④
• C、②⑤
• D、②③⑤

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=1，得到b=-2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，则当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂先移项，再分解因式得到（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，而x₁≠x₂，则a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-

b

a

，然后把b=-2a代入计算得到x₁+x₂=2．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为性质x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为性质x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④错误；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂=0，
∴a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）=0，
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，
而x₁≠x₂，
∴a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-

b

a

，
∵b=-2a，
∴x₁+x₂=2，所以⑤正确．
故选：D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．