Question

【题目】认真阅读下列材料，然后完成解答：

（材料）

如图，已知平面直角坐标系中两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B两点间的的距离|AB|的值？

过点A向y轴作垂线AN1、过点B向x轴作垂线BM2，垂足分别为N1（0，y1）和M2（x2，0），直线AN1和BM2相交于点Q．

在Rt△AQB中，|AB|2= |AQ|2+ |BQ|2

为了计算AQ和BQ，过点A向x轴作垂线，垂足为M1（x1，0）；过点B向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|．

所以，|AB|2=．

由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离公式：．

根据定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．

因此，线段AB的长度计算公式为．

（问题）

（1）平面直角坐标系中有两点A（0，1）、B（2，3），求线段AB的长；

（2）表示线段MN的长，其中点M的坐标为（a，b），点N的坐标为______；

（3）如图，在x轴上有一点P（x，0），试求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）(－2，0)；（3）．

【解析】

（1）利用两点间的距离公式进行计算即可；

（2）由点M坐标为（a，b），可将MN变化为，可得点N坐标为(－2，0)；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，直线BA′于x轴的交点即为所求的点P，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，根据两点之间，线段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值；

解：

（1）将点A（0，1）、B（2，3）代入得，

===；

∴AB的长为；

（2）由题可知，，点M坐标为（a，b），

∴，

∴点N坐标为(－2，0)；

（3）如图：作点A关于x轴的对称点A′（0，－1），连接A′B，交x轴于点P，可得，AP=A′P，A′B=A′P+BP=PA+PB，

根据两点之间，线段最短，可得A′B等于PA+PB的最小值．

===；