Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=

k

x

（k＜0）的图象上，则k等于______．

Answer 1

设点C坐标为（a，

k

a

），（a＜0），点D的坐标为（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（

a-1

2

，

k

2a

）=（

x

2

，

y+2

2

），
则x=a-1，y=

k-2a

a

，
代入y=

k

x

，可得：k=2a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴BC=2AB=2

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-2）²=（2

5

）²，
整理得：a⁴+k²-4ka=16a²，
将①k=2a-2a²，代入后化简可得：a²=4，
∵a＜0，
∴a=-2，
∴k=-4-8=-12．
故答案为：-12．
方法二：
因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．
故设点C坐标是（-a，2+b），点D坐标是（-1-a，b），（a＞0，b＞0）
根据K的几何意义，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=2

5

，AH=a，DH=b=2a．
AD²=AH²+DH²，即20=a²+4a²，
得a=2．
所以D坐标是（-3，4）
所以|K|=12，由函数图象在第二象限，
所以k=-12．