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(2006辽宁沈阳课改,23)如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点ABC.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上.已知AB=5km.

(1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长;(结果精确到0.1km)

(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km)

(参考数据:,sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0.60,tan53°=1.33,tan37°=0.75,sin38°=cos52°=0.62,sin52°=cos38°=0.79,tan38°=0.78,tan52°=1.28,sin75°=0.79,cos75°=0.26,tan75°=3.73.)

答案:略
解析:

(1)如图4,过点DDEAC于点E

过点AAFDB,交DB的延长线于点F

RtΔDAF中,∠ADF=30°,∴

∴在RtΔABF中,

,在RtΔDBE

∵∠ABF=DBE 

(km)

∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km

(2)由题意可知∠CDB=75°

(1)可知,所以∠DBE=53°

∴∠DCB=180°-75°-53°=52°

RtΔDCE中,

(km)

∴景点C与景点D之间的距离约为4km


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(1)如图②,若点EF不是正方形ABCD的边BCCD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)

图②

(2)如图③,若点EF分别在正方形ABCD的边CP的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;

图③

(3)如图④,在(2)的基础上,连接AEEFA若点MNPQ分别为AEEFFDAD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程.

图④

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