Question

12．如图所示，已知△ABC为圆内接正三角形，P为$\widehat{BC}$上任一点，PA交BC于D，求证：$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{1}{PD}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠CAD=∠PBD，∠APB=∠ACB，推出△PBD∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{PB}=\frac{CD}{PD}$，同理$\frac{AB}{PC}=\frac{BD}{PD}$，两式相加得到$\frac{AC}{PB}+\frac{AB}{PD}=\frac{CD}{PD}+\frac{BD}{PD}$=$\frac{BC}{PD}$，即可得到结论．

解答 解：∵∠CAD=∠PBD，∠APB=∠ACB，
∴△PBD∽△ACD，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{CD}{PD}$，同理$\frac{AB}{PC}=\frac{BD}{PD}$，
∴$\frac{AC}{PB}+\frac{AB}{PD}=\frac{CD}{PD}+\frac{BD}{PD}$=$\frac{BC}{PD}$，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{1}{PD}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．