练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    20．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°．点A的坐标为（-2，0）．
    （1）点B的坐标（2，0）；
    （2）菱形ABCD的面积=8$\sqrt{3}$；
    （3）动点P从点A出发向点D运动，问是否在线段AC上存在点E，使得PE+DE最小？存在的话，最小值是2$\sqrt{3}$；
    （4）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到AC的距离是1？

    分析 （1）在△OAD中可求得∠ADO=30°，由含30°直角三角形的性质可求得AD的长，由菱形的性质可得到AB的长，从而可求得点B的坐标；
    （2）在△AOD中，依据勾股定理可求得OD的长，然后依据菱形ABCD的面积=底×高求解即可；
    （3）如图所示：过点B作BP⊥AD，垂直为P，BP交AC于点E，连接DE．由菱形的性质可知点D与点B关于AC对称，依据轴对称图形的性质可证明PE+DE=PE+EB=PB，接下来在△ABP中由勾股定理可求得PB的长，从而得到PE+DE的最小值；
    （4）分为当点P在AB上，点P在DC上、点P在BC上、点P在AB上四种情况求解即可．例如当点P在AD上时，可过点P作PE⊥AC，由含30°直角三角形的性质求得PA的长，从而求得t的值．

    解答 解：（1）∵∠BAD=60°，∠AOD=90°，
    ∴∠ADO=30°．
    ∴AD=2OA=4．
    ∵ABCD为菱形，
    ∴AB=AD=4．
    ∴OB=AB-OA=2．
    ∴B（2，0）．
    故答案为：（2，0）．
    （2）在△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
    菱形ABCD的面积=AB•OD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
    故答案为：8$\sqrt{3}$．
    （3）如图所示：过点B作BP⊥AD，垂直为P，BP交AC于点E，连接DE．

    ∵ABCD为菱形，
    ∴点D与点B关于AC对称．
    ∴ED=EB．
    ∴PE+DE=PE+EB=PB．
    ∵∠BPA=90°，∠BAP=60°，
    ∴∠PBA=30°．
    ∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2．
    ∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}-P{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
    ∴PE+DE的最小值为2$\sqrt{3}$．
    故答案为：2$\sqrt{3}$．
    （4）如图1所示：①当点P在AB上时，过点P作PE⊥AC，垂足为E．

    由菱形的性质可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
    ∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
    ∴AP=2．
    ∴t=2．
    ②当点P在DC上时，如图3所示：

    由菱形的性质可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
    ∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
    ∴CP=2．
    ∴AD+DP=4+2=6．
    ∴t=6．
    ③如图4所示：当点P在BC上时．

    由菱形的性质可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
    ∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
    ∴CP=2．
    ∴AD+DC+CP=4+4+2=10．
    ∴t=10．
    ④如图5所示；点P在AB上时．

    由菱形的性质可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
    ∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
    ∴AP=2．
    ∴AD+DC+BC+BP=4+4+4+2=14．
    ∴t=14．
    综上所述，当t=2或t=6或t=10或t=14时，点P到AC的距离是1．

    点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、勾股定理、含30°直角三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，明确当PB⊥AB且点B、E、P在一条直线上时，PE+DE有最小值是解题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．下列计算正确的是（　　）
    A．$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$B．$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$C．$\sqrt{-{x}^{3}}$=x$\sqrt{-x}$D．$\sqrt{{x}^{2}}$=x

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．计算：$\sqrt{9}$-2-1+$\root{3}{8}$-|-2|=2$\frac{1}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．（1）如图甲，∠BAC和∠DAE都是70°20′的角，如果∠DAC=27°20′，那么∠BAE的度数为113°13′．
    （2）图甲中与∠BAD相等的角是∠EAC．
    （3）图甲中若∠DAC变大，则∠BAD的度数如何变化？答：变小．
    （4）在图乙中，利用三角板再画一个与∠MON相等的角（请指明你所使用的三角板的角的度数和画出与∠MON相等的角）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    15．如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6，tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，则拉线AC的长为10．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．计算：-10-（-6）=-4．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．探究问题：
    （1）方法感悟：
    如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
    感悟解题方法，并完成下列填空：
    将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
    AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
    ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
    因此，点G，B，F在同一条直线上．
    ∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
    ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
    即∠GAF=∠FAE．
    又AG=AE，AF=AF
    ∴△GAF≌△EAF．
    ∴GF=EF，故DE+BF=EF．
    （2）方法迁移：
    如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
    （3）问题拓展：
    如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|-b|．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．若（a+3）2+（3b-1）2=0，则a2003•b2004=$-\frac{1}{3}$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案