Question

【题目】如图，中，．． 将绕点顺时针旋转60°到点，点与点关于直线对称，连接，，．

(1)依题意补全图形：

(2)判断的形状，并证明你的结论；

(3)请问在直线上是否存在点．使得恒成立若存在，请用文字描述出点的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）存在，点P是在将绕点C顺时针旋转60°得到，直线与直线的交点，图和理由见解析．

【解析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）首先利用垂直平分线的性质得出，然后根据旋转的性质有是等边三角形，然后利用等边三角形，等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，从而可证，则有，从而可证是等边三角形；

（3）将绕点C顺时针旋转60°得到，延长交直线于点P，连接，先利用旋转的性质得出是等边三角形，然后通过等量代换得出，从而可证，则，再通过等腰三角形的性质和角度之间的关系得出，又因为，，则有．

（1）如图，

（2）是等边三角形，理由如下：

连接CD,CE，延长CB交DE于点F，

∵点与点关于直线对称，

∴CF垂直平分DE，

∴ ．

由旋转可知， ，

是等边三角形，

，

．

，

，，

，

，

．

在和中，

，

，

∴是等边三角形；

（3）存在，点P是在将绕点C顺时针旋转60°得到，直线与直线的交点，理由如下：

将绕点C顺时针旋转60°得到，延长交直线于点P，连接，如图，

由（2）可知是等边三角形，

，

，

．

由旋转可知， ，

∴是等边三角形，，

，

．

在和中，

．

，

，

，

，

．

，

，

∴直线BE上存在一点P，使得，点P是在将绕点C顺时针旋转60°得到，直线与直线的交点．