Question

商场举办一次迎亚运抽大奖的活动，将五张亚运吉祥物的图片都平均分成上、下两段，制成十幅同样大小的卡片，然后将上、下两段分别混合均匀，放人两只密闭的盒子里，由顾客从两个盒子中各随机抽取一张，若两张卡片刚好拼成一个吉祥物的图案，即可获得奖品．
（1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率；
（2）为增强活动的趣味性，商场在两个盒子中分别放入同样多的空白卡片若干张．小明对顾客抽取的结果中出现“至少一张空白卡片”的次数做了大量的统计，统计数据如下表：

抽取卡片次数	30	50	80	100	150	180	240	300	400
出现“至少一张空白卡片”的次数	23	38	59	74	113	135	181	224	300
出现“至少一张空白卡片”的频率	0.77	0.76	0.75	0.74	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75

如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“至少一张空白卡片”的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次出现“至少一张空白卡片”的概率（精确到0.01）；
（3）设商场在两个盒子中分别放入的空白卡片x张，根据（2），求出x的值．

Answer 1

解：（1）设第一个盒子，五张卡片分别为：A、B、C、D、E，
第二个盒子，五张卡片分别为：a、b、c、d、e，
树形图如下：
，
∴得到Aa，Bb，Cc，Dd，Ee一共有5种情况，所有的可能为25种，
∴顾客抽取一次获得奖品的概率为：；

（2）根据表格可知：“至少一张空白卡片”的概率为：0.75；

（3）根据题意知：
第一个盒子共有（5+x）张卡，
第二个盒子共有（5+x）张卡，
则共有（5+x）²种可能性，
“至少一张空白卡片”共有x（10+x）种可能性
则：=0.75，
化简得：x²+10x-75=0，
解得：x₁=5，x₂=-15（不合题意舍去），
经检验得出x=5是原方程的根，
答：x的值为5．
分析：（1）设第一个盒子，五张卡片分别为：A、B、C、D、E，第二个盒子，五张卡片分别为：a、b、c、d、e，进而得出树状图，求出概率即可；
（2）利用表格数据直接得出概率即可；
（3）首先根据题意得到共有（5+x）²种可能性，“至少一张空白卡片”共有x（10+x）种可能性，进而解方程得出即可．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率以及分式方程的应用和树状图法求概率，此题难度较大，得出“至少一张空白卡片”共有x（10+x）种可能性是解题关键．