如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
(1)证法一: ①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线, ∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45° (1分) ∵PC=PC, ∴△PBC≌△PDC(SAS) (2分) ∴PB=PD,∠PBC=∠PDC (3分) 又∵PB=PE, ∴PE=PD (4分) ②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时, ∵PB=PE, ∴∠PBE=∠PEB, ∴∠PEB=∠PDC, ∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°, ∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°, ∴PE⊥PD (6分) (ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD. (iii)当点E在BC的延长线上时,如图. ∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2, ∴∠DPE=∠DCE=90°, ∴PE⊥PD. 综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD (7分) (2)①过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE. ∵AP=x,AC=, ∴PC=-x,PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. ∴S△PBE=BF·PF=() (9分) 即 (0<x<) (10分) ② (11分) ∵<0, ∴当时,y最大值 (12分) (1)证法二:①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示. ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形, △AGP和△PFC都是等腰直角三角形. ∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°. 又∵PB=PE, ∴BF=FE, ∴GP=FE, ∴△EFP≌△PGD(SAS) (3分) ∴PE=PD (4分) ②∴∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴∠DPE=90°. ∴PE⊥PD (7分) (2)①∵AP=x, ∴BF=PG=,PF=1- (8分) ∴S△PBE=BF·PF=() (9分) 即(0<x<) (10分) ② (11分) ∵<0, ∴当时,y最大值 (12分) (注:用其它方法求解参照以上标准给分.) |
科目:初中数学 来源: 题型:
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