Question

18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是多少？

Answer 1

分析 根据翻折得：△AEG≌△ABE，得AG=AB=2，且△ABE和△AGE是等腰直角三角形，再得△COG是等腰直角三角形，设OC=OG=x，则AO=2-x，CG=$\sqrt{2}$x，证明△ODA∽△OCG，得比例式求出x的值，分别求△AEG和△OCG的面积，并求其重叠部分的面积．

解答 解：∵在边长为2的菱形ABCD中，
∴AB=2，
∵∠B=45°，AE为BC边上的高，
∴AE=$\sqrt{2}$，
由折叠得：△AEG为等腰直角三角形，AG=AB=2，
∴∠AGE=45°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠D=∠B=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DCG=∠D=45°，
∴∠COG=90°，
∴△COG是等腰直角三角形，
∴${{S}_{△{AEG}}}=\frac{1}{2}{AE}•{EG}={1}$，
设OC=OG=x，则AO=2-x，CG=$\sqrt{2}$x，
∵AD∥CG，
∴△ODA∽△OCG，
得$\frac{AD}{CG}=\frac{AO}{GO}$，即$\frac{2}{{\sqrt{2}{x}}}=\frac{{{2}-{x}}}{x}$，
解得${x}={2}-\sqrt{2}$，
∴${{S}_{△{COG}}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}=\frac{1}{2}{（{{2}-\sqrt{2}}）^{2}}{=3}-{2}\sqrt{2}$，
∴重叠部分的面积为${{S}_{△{AEG}}}-{{S}_{△{COG}}}={1}-（{{3}-{2}\sqrt{2}}）={2}\sqrt{2}-{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形面积和翻折变换问题，知道菱形的四边相等、对角相等；明确翻折前后的两个图形全等，求阴影部分面积时，观察图形形状，可以直接求解，也可以间接利用面积和或差来求．